Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a), Детальна інформація

                                         

                                          Рис.13.3

 

, то ряд збігається на всій числовій осі.

            Вкажемо метод визначення радіуса збіжності степеневого ряду (13.39). Для цього розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

                 (13.43)

            Застосуємо ознаку Даламбера

,



 є інтервалом збіжності степеневого ряду (13.39), тобто

                              (13.44)

            Аналогічно для визначення інтервалу збіжності можна користуватися радикальною ознакою Коші, і тоді радіус збіжності

                                       (13.45)

           



 має такий вигляд :

      (13.46)

 також називаються коефіцієнтами ряду.

 ми одержимо ряд (13.39), а тому ряд (13.39) є частинним випадком ряду (13.46).

            Для визначення області збіжності ряду (13.46) проведемо в ньому заміну змінної





                     (13.47)

 або

                                    (13.48)

 тобто буде розбігатися поза інтервалом (13.48).





            Р о з в ‘ я з о к. За формулою (2.30) одержимо