Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a), Детальна інформація

            Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд такого вигляду:

 ,                      (13.39)

 постійні числа, що називаються коефіцієнтами ряду.

.







 ,

 а це значить, що всі члени ряду обмежені



 деяке додатне число.

            Перепишемо ряд (13.39) у вигляді

 (13.40)

і розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

         (13.41)

            Члени цього ряду менші за відповідні члени ряду

                 (13.42)

, а, значить, він збігається. Оскільки члени ряду (13.41) менші за відповідні члени ряду (13.42), то ряд (13.41) також збігається (за теоремою порівняння). Це значить, що ряд (13.40) або (13.39) збігається абсолютно.



Таким чином, теорема повністю доведена.

            Теорема 2. Областю збіжності степеневого ряду (13.39) є інтервал з центром в початку координат.

 складаються із точок розбіжності.

точки розбіжності.

називається радіусом збіжності степеневого ряду.

 ) питання про збіжність або  розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.

                                         

          Ряд збігається