Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонноїструктури монокристалів CdJ2, Детальна інформація

Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонної

структури монокристалів CdJ2

Для розрахунку енергетичної зонної структури кристалів останнім часом набув поширення метод апріорних атомних псевдопотенціалів (ПП). У загальних рисах цей підхід ґрунтується на самоузгодженому пошуку ПП у наближенні функціонала локальної спінової густини. Стартова точка цієї процедури базується на релятивіському рівнянні Дірака для хвильової функції Gl(r) і Fl(r):

dFl(r)/dr - (g/r).Fl(r) + (.[El - V(r)]Gl(r) = 0 (1a)

dGl(r)/dr + (g/r).Gl(r) - ([(2/(2) + El - V(r)].Fl(r) = 0, (1b)

де l = (-1=137.07 – обернене значення константи надтонкої структури; g - ненульове ціле число. Розв’язки рівняння (1) визначають густину заряду:

((r) = ( [|Gl(r)|2 + | Fl(r)|2]. (2)

El < EF

Використовуючи процедуру нелінійної інтерполяції, визначимо псевдопотенціал:

Vps(l)(r) = Vост(r) + Vioн(l)(r)+ Vсо(l)(r), (3)

де Vост(r) – остовний потенціал, V(l)ioн(r) визначає іонну корекцію псевдопотенціалу і V(l)со(r) – спін-орбітальна корекція. Кожний з вищенаведених доданків може бути виражений в аналітичній формі і тому відповідні матричні елементи можна точно обчислити (замість числового інтегрування):

Ci.erf[(i1/2.r]; (4)

(Ai+r2.Ai+3).exp(-(i.r2). (5)

Інтерполяційні коефіціенти Ai, (i, CI, (i визначаються як розв`язки самоузгодженого рівняння Дірака – Хартрі – Фока – Слетера для конкретних атомів з відповідними орбітальними числами з подальшою нелінійною інтерполяцією (4, 5).

Повний псевдопотенціал є сумою нелокальних псевдопотенціалів, які перекриваються і розміщені в точках (p,q. Взаємодія електрона з остовами, які описуються періодичними іонними ПП, визначається оператором:

Vps(r, r') = ( Vq,s(r - Rp - (q,s, ( - Rp - (q,s), (6)

p,q,s

де Rp – вектор прямої ґратки, який визначає розташування елементарної комірки; (q,s – вектор, який визначає розташування s-го іона сорту q в елементарній комірці. При обчисленні матричних елементів секулярного рівняння в базисі плоских хвиль необхідно перейти від r-простору до оберненого G-простору за допомогою Фур’є перетворення:

exp[-iq(Rp + (q,s)].V-1.

( dr.dr’.exp[-i(k+Gj).r].Vq(r, r').exp[i(k+Gj).r'], (7)

де q = Gi - Gj і V – об’єм першої зони Бріллюена. Враховуючи, що qj.(i = 2.(.(ij ((i, qj – основні вектори прямої й оберненої ґратки) знаходимо, що при довільних значеннях p exp(-iqRp) = 1, а тому сума по p просто дає множник N i остання рівність у локальному наближенні набуває вигляду:

= ( exp[-iq.(q,s)].V-1.( d3r.exp[-i(q.r].Vq(r) (8)

q, s

Зауважимо, що тут інтегрування по r здійснюється в основній сфері кристала.

Розглянемо локальну частину псевдопотенціала. Форм-фактор потенціалу іона (4) дорівнює:

Vq = V-1. ( Vi\x0144\x0148(r).exp(-iqr).d3r.

Для обчислення цього виразу використаємо загальну процедуру. Запишемо розклад плоских хвиль за Релеєм:

(2l+1).il.jl(|q.r|.Pl(cos(q^r), (9)

де jl(x) – сферичні функції Бесселя, Pl(cosq^r) – поліноми Лежандра l-го порядку і q^r – кут між q і r. Через сферичну симетрію s-орбіталі основний вклад в інтеграл у рівнянні (8) надає лише член ряду з l = 0. Враховуючи, що P0(cosq^r) = 1, одержимо:

( 2