ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ, Детальна інформація

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x \xF0AE 0 являються нескінчено малими одного порядку при x\xF0AE a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| \xF0A3 3 \xF0DE f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| \xF0A3 1 \xF0DE g=O(f).

7. x2 = o(x) при x \xF0AE 0, так як limx \xF0AE 0x2/x = limx \xF0AE 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x \xF0AE\xF020\xF02B\xF020\xF0A5 так як limx \xF0AE\xF020\xF0A5x/x2 = limx \xF0AE\xF020\xF0A51/x = 0

9.Знайти границю



Розв’язування. Використовуючи HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "e3" асимптотическое равенство ( HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "e3" 3 ) и HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "e1" асимптотическое равенство ( HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "e1" 1 ), а также учитывая, что x2 = o(x) при x\xF0AE 0 (см. HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "ex1" пример HYPERLINK "http://www.de.isu.ru/uchebnew/" \l "ex1" 15 ) и f=o(x2) является функцией o(x) при x\xF0AE 0, найдем



ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

виконувалася умова

(1.32)

тобто

. Тоді

, тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

. Тоді



)

.

Тоді якщо існує

(1.33)

, причому

(1.34)

означає, що

.

Тепер маємо: