Дослідження функцій за допомогою похідних, Детальна інформація

Реферат на тему:

Дослідження функцій

за допомогою похідних

Означення. Функція y=f(x) має мінімум (максимум) у точці x0 , якщо існує такий окіл точки x0 , що для всіх точок x(x0 цього околу виконується нерівність f(x0)
y

x0 x

Рис. 5.1.

Функція, показана на рис. 5.1, має два мінімуми та три максимуми. Нагадаємо, що поняття мінімуму та максимуму об’єднані в термін “екстремум”.

Теорема (необхідна умова існування екстремуму). Якщо диференційовна функція f(x) в точці x0 має екстремум, то в цій точці похідна f((x0) =0.

Теорема. Якщо на деякому відрізку [a;b] похідна f((x) від деякої функції є додатною (від’ємною), то на цьому відрізку функція f(x) зростає (спадає)

Теорема (перша достатня умова існування екстремуму). Якщо похідна f((x) від деякої диференційоної функції f(x) в точці x=x0 дорівнює нулю і при x0, а при x>x0 похідна f((x)<0, то точка x0 є точкою максимуму. Якщо ж похідна f((x) в деякому околі точки x0 змінює знак з від’ємного на додатний, то точка x0 є точкою мінімуму.

Теорема (друга достатня умова існування екстремуму). Якщо в точці x0 диференційовної функції y = f(x) перша похідна f((x)=0 , а друга f(((x)<0 , то в цій точці є максимум (мінімум, якщо f(((x)>0) .

Поняття мінімуму та максимуму не треба плутати з поняттями найбільшого та найменшого значень функції на деякому інтервалі.

Зазначимо, що умова f((x)=0 не є достатньою для існування екстремуму функції y=f(x).

Нехай y = f(x) - деяка функція та (x0;y0) - точка з області визначення цієї функції. Проведемо через точку (x0;y0) дотичну до кривої (рис. 5.2).

y y=f(x)



(y

dy

dx=(x

(

x0 x

Рис. 5.2.

Рівняння цієї дотичної – це пряма

y = f(x0) +f((x0)(x-x0) (5.2)

Величина f((x0) = k = tg( є нахилом кривої y=f(x) в точці x0 .

Означення. Диференціалом від функції y=f(x) називається вираз dy=f((x)dx, де dx = (x - приріст аргументу (рис. 5.2).

Приклад. Нехай y = ln(x2+1) .

.

Приклад. Знайти екстремуми та інтервали зростання і спадання функції y = x3 – 6x2 +9x.