Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць, Детальна інформація

Реферат на тему:

Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матрицьВідомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.

Необхідні відомості з теорії матриць.

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:



. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

З матрицями можна здійснювати такі операції:

Множити на число



Додавати матриці однакових розмірів:



Множити матриці:





Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.

, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.



.

Беспосередньо можна первірити, що для



такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню (.

. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).