Метод зведення визначника до трикутного вигляду, Детальна інформація

Реферат на тему:

Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.

= a11a22…ann

, де n – порядок визначника.

a1na2,n-1…an1

Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.

Нехай задано визначник n–го порядку загального вигляду.



Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника (. Одержуємо визначник



. Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник

.

Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що ( = 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку

,

причому x11= a11( 0, x22= b22( 0, x33= c33 ( 0,…, xnn ( 0. Отже,

( = x11x22x33...xnn

Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.

Приклад 1. Обчислити визначник



Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

.

Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:

.

Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

.

Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:

.

У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.

.