Метод зведення визначника до трикутного вигляду, Детальна інформація

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n (елементи першого рядка – всі натуральні числа від 1 до n, тобто кількість їх дорівнює n). Всі елементи визначника на побічній діагоналі і нижче побічної діагоналі однакові. Тому визначник можна звести до трикутного вигляду відносно побічної діагоналі. Для цього віднімемо від n-го стовпчика визначника (n-1)-й стовпчик.

.

В останньому стовпчику залишається лише один ненульовий елемент. Далі аналогічно від (n-1)-го стовпчика віднімемо (n-2)-й, від (n-2)-го - (n-3)-й і, нарешті, від 2-го стовпчика віднімемо 1-й. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому



Приклад 5. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку елементами є степеня змінної x від 0 до n). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Неважко переконатись в тому, що елементи першого рядка, починаючи з другого, можна одержати помноженням відповідних елементів другого рядка на x. Тому, віднімаючи від першого рядка другий рядок, помножений на x, одержимо на місці цих елементів нулі. Тобто,

.

Далі, аналогічно, від другого рядка віднімемо 3-й, помножений на x, від 3-го рядка віднімемо 4-й, помножений на x, і нарешті від (n-1)–го рядка віднімемо n–й, помножений на x:

.

Всі елементи визначника, що знаходяться вище головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі і



Приклад 6. Обчислити визначник порядку n

.

Розв’язування. У визначниках такого вигляду зручно на першому кроці від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо визначник

.

Далі визначник неважко звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього можна, наприклад, додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Згідно з властивостями визначника, його величина при цьому не змінюється. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому

( = (n-1)(x((-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Визначник можна зводити до трикутного вигляду різними способами. Наприклад, для даного визначника можна запропонувати ще один спосіб зведення. Неважко бачити, що у початковому визначнику сума елементів кожного рядка і кожного стовпчика однакова. Тому додамо до першого рядка початкового визначника суму всіх інших рядків. При цьому величина визначника не змінюється

.

Перший рядок визначника складається з однакових елементів, а тому з цього рядка можна винести множник за знак визначника

.

Далі одержуємо нулі нижче головної діагоналі. Для цього достатньо відняти від всіх рядків визначника, починаючи з другого, перший рядок, помножений на x.

.

Одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.