Метод зведення визначника до трикутного вигляду, Детальна інформація

( = (n-1)(x((-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Приклад 7. Обчислити визначник порядку n

.

Розв’язування. Помножимо перший рядок визначника на x. З властивостей визначників випливає, що при цьому визначник помножається на x, тобто

.

Далі аналогічно помножуємо перший стовпчик визначника на x. Визначник помножається на x ще один раз

.

Одержуємо визначник, який співпадає з визначником з попереднього прикладу. У цьому визначнику від всіх рядків, починаючи з другого, віднімаємо перший рядок:

.

Далі до першого стовпчика додамо суму всіх інших стовпчиків

.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому

(-1)n-1(n-1)xn = (-1)n-1(n-1)xn-2.

Приклад 8. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (на головній діагоналі n елементів). Будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи головної діагоналі якого дорівнюють 1. Для цього з другого стовпчика визначника винесемо множник – число 2, з третього – множник 3, і нарешті з останнього – множник n. Одержуємо



В одержаному визначнику всі елементи першого стовпчика, починаючи з другого, співпадають з відповідними елементами головної діагоналі. Тому, віднімаючи від першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків, одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

.

Таким чином,

)

Приклад 9. Обчислити визначник

.

.

Звертаємо увагу на те, що всі елементи першого стовпчика одержаного визначника, починаючи з 2-го дорівнюють –1. Тому перетворюємо визначник так, щоб діагональні елементи, починаючи з 2-го, були рівними 1. Для цього з другого стовпчика виносимо множник – число 2, з третього – число 3, і нарешті з n-го – число n:



В одержаному визначнику до першого стовпчика додаємо суму інших стовпчиків:

.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

).