Метод зведення визначника до трикутного вигляду, Детальна інформація

У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4

.

і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

.

= 52

На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника



до визначника



відніманням від п’ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п’ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:

.

Нарешті до п’ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:

.

Таким чином, ( = - (1((-1)(1(1( 52) = 52.

Розглянемо тепер деякі приклади обчислення визначників n–го порядку методом зведення до трикутного вигляду. При обчисленні визначників n–го порядку будемо суттєво користуватись закономірностями в будові цих визначників.

Приклад 2. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у першому рядку елементами є всі натуральні числа від 1 до n, кількість їх дорівнює n). Кожен рядок визначника, починаючи з другого, відрізняється від першого рядка лише єдиним елементом, а саме елементом, який стоїть на головній діагоналі. Тому можна від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо

.

Всі елементи одержаного визначника, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому

( = 1(1(2(...((n-2)((n-1) = (n-1)!

Приклад 3. Обчислити визначник порядку n

.

Розв’язування. В цьому визначнику всі елементи, яки знаходяться вище головної діагоналі, а також всі елементи головної діагоналі однакові. Визначник можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі, одержуючи нулі вище діагоналі. Віднімемо від першого рядка визначника другий. Одержуємо

.

Далі, аналогічно від другого рядка віднімемо 3-й, від 3-го - 4-й і нарешті, від (n –1)-го – n-й.

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому

( = x((x-y)n-1.

Приклад 4. Обчислити визначник