Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної, Детальна інформація

. (15)

Тут L>0 - найменша константа яка задовольняє (15) і називається константою Ліпшіца .

проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

.

Поняття загального розв(язку, форми його запису.

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (3) має нескінченну множину розв(язків, яка залежить від деякого параметру с

(16)

Це сімейство і називається загальним розв(язком диференціального рівняння (3). При кожному с (16) дає інтегральну криву.

.

Дамо точне визначення загального розв(язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 8.\x2003Функцію

(17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв(язком диференціального рівняння (3) в області D, якщо рівняння (17) можна розв(язати відносно с в області D

(18)

.

Суть означення 8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв(язком диференціального рівняння (3) в області D (рис. 3).



Рис. 3

Для розв(язування задачі Коші константу С

можна знайти згідно

. (18)

Інколи в формулі (17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв(язок представлений у формі Коші

. (19)

Приклад 2. Знайти розв(язок диференціального рівняння



В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки

- розв(язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (3) ми отримуємо загальний розв(язок в неявній формі

, (20)