Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної, Детальна інформація

. (23)

приймає постійні значення на довільному частинному розв(язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв(язком

. (24)

, визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (3) в області D, якщо на довільному частинному розв(язку з D, ця функція приймає постійні значення.

- диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв(язку

(25)

або

(26)

. А це означає, що поле диференціального рівняння (3) в відповідній точці не задано.

в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (26) випливає, що

(27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 12 буде інтегралом і в смислі означення 13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

, то

(28)

є інтегралом диференціального рівняння (3) в області D.

Доведення.

,

в області D. Маємо

(29)

- інтеграл диференціального рівняння (3) згідно означення.

два інтеграли диференціального рівняння (3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що

. (30)

інтеграли, то

(31)

З (31) випливає, що

. (32)

Формально (32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (32) витікає (30).

у