Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної, Детальна інформація

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (3).

Означення 9.\x2003Будемо називати співвідношення (20) загальним розв(язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (20) визначається загальний розв(язок (17) диференціального рівняння (3) в області D.

З означення випливає, що (18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.

(21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв(язком диференціального рівняння (3) в параметричній формі.

Якщо в (21) виключити t, то отримаємо загальний розв(язок в неявній або явній формі.

Частинні і особливі розв(язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв(язку, по диференціальному рівнянню

Означення 10.\x2003Розв(язок, який складається з точок єдиності розв(язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.

Розв(язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв(язок.

Означення 11.\x2003Розв(язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв(язку задачі Коші, будемо називати особливим.

.

Існують ні частинні ні особливі розв(язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв(язків.

Рис. 4

Приклад 3.\x2003Знайти особливий розв(язок диференціального рівняння

,

.

- особливий розв(язок.

. Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

\x2003вона являється інтегральною кривою;

\x2003перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв(язку.

- особливий розв(язок.

Приклад 4.\x2003Розглянемо диференціальне рівняння



не є розв(язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв(язком.

. Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв(язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв(язки : обвідна і сам розв(язок.

Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Нехай

(22)

загальний розв(язок загального диференціального рівняння (3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (22) можна розв(язати відносно С