Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку, Детальна інформація

. (7)

Приведемо формули для обчислення похідної :

; (8)



справедлива формула

; (9)

, (10)

- поліноми степеня n ;

(дійсному або комплексному) справедлива формула

. (11)

і використання формули (8).

(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5); якщо

0, a < x < b .

(x).

(x)) = 0 .

(x)) = 0.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5).

(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5)

) = 0.

(x) - розв’язки диференціального рівняння (5) , то

) = 0.

) - розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком

= 0.

Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

sin(x) - розв’язок .

3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду

0 , a < x < b , (13)

називають лінійно залежними на (a,b).

не було постійним на (a,b).