Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку, Детальна інформація

Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

. Дійсно співвідношення

дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

.

, так як для будь-якого х справджується співвідношення

x – 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .

- лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут

(14)

Доведення. Згідно умови теореми

, тоді

(15)

Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14)

(16)

Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже

0 , a < x < b. Теорема доведена.

- розв’язок диференціального рівняння (5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих

розв’язків даються теоремою 1. і слідуючою теоремою .

- суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) .

. Складемо систему рівнянь

(17)

, то вона має ненульовий розв’язок

, (18)

яка являється розв’язком диференціального рівняння (5).

- лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему.

З теорем 1 і 2 випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5):

на (a,b).

на (a,b);

на (a,b) .