Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку, Детальна інформація

Теорема доведена .

(23)

, i=1,2,…,n .

, тобто

(24) загальний розв’язок в формі Коші .

Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .

Твердження 1. Диференціальне рівняння (5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо n перших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як

. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .

(a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)

= 0

і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .

Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною

(25)



і диференціального рівняння (5) запишемо у вигляді



Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .

Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5) можна понизити на к одиниць .