Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку, Детальна інформація

(a,b) , що протирічить умові.

(a,b) .

4. Формула Остроградського – Ліувілля.

(19)

і обчислимо його похідну

.

,

Звідки маємо формулу (5.19) .

5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

(a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки :

;

;

... ------------- // --------------- ... ... ... ....

.

, отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

Теорема доведена .

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

.

.

6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

- фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула

- довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a < x < b,

(21) , тобто в області визначення

диференціального рівняння (5).

- розв’язки диференціального рівняння (5) , то лінійна комбінація (20) теж розв’язок .



. Згідно визначення (20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5) .