Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.

-го порядку зі сталими коефіцієнтами

(5.26)

.

Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.

(5.27)

.

Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді

(5.28)

– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

(5.29)

, тобто

(5.30)

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

дійсні і різні.

дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє



Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно



- різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області

(5.32)

– довільні сталі.

б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.