Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу, Детальна інформація

- оптимальне керування. л

або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U. Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.

Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду:

(3)

Тут



.

. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю (3.3).

розв’язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un. Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення



і обмеженість множини F одержимо, що існують невід’ємні константи С1 і С2 такі, що



Враховуючи також, що





одержимо



є оптимальним керуванням. л

Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми, подібні теоремам 2, 3.

L(U,L2(G)), U – рефлексивний банаховий простір, а керування u належить замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості можна представити у вигляді



Покажемо тоді, що має місце

Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною простору U, яка співпадає з сукупністю розв’язків варіаційної нерівності

(4)

де функція z(x) визначається з розв’язку рівняння

(5)



- непорожня, опукла і замкнена (див.також §2).

можна представити у вигляді