Розв’язування нелінійних рівнянь, Детальна інформація

. (13)

, яка задовольняє умові

, (14)

то функція ((x) буде задовольняти умові (11) теореми 1.

З (13) можна отримати оцінку кількості ітерацій. які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (7) з наперед заданою точністю (:

. (15)

Наведемо ще одну оцінку. що характеризує збіжність методу простої ітерації:

. (16)

3. Метод релаксації

, то отримаємо метод релаксації.

, (17)

який збігається при

. (18)

Якщо в деякому околі кореня виконуються умови

, (19)

. Збіжність буде найкращою при

. (20)

буде мати місце оцінка

, (21)

.

Кількість ітерацій, які потрібно провести для знаходження розв’язку з точністю ( визначається нерівністю

. (22)

, то ітераційний метод (17) потрібно записати у вигляді

.

4. Метод Ньютона

Метод Ньютона застосовується до розв’язування задачі (1), де f(x) є неперервно-диференційованою функцією. На початку обчислень вибирається початкове наближення x0. Наступні наближення обчислюються за формулою

. (23)

З геометричної точки зору xn+1 є значенням абсциси точки перетину дотичної до кривої y=f(x) в точці (xn, f(xn)) з віссю абсцис. Тому метод Ньютона називають також методом дотичних.

рівняння (1) з будь-якою степінню точності.

,