Розв’язування нелінійних рівнянь, Детальна інформація

x (4 (3 (2 (1 0 1 2 3

signf(x) ( ( + + ( + + +



З даної таблиці видно, що рівняння має три корені розташовані на проміжках [(3;(2], [(1;0], [0;1]. Будемо знаходити корінь на проміжку [(1;0]. Обчисливши значення f((0,5)=(0,375 можна уточнити проміжок існування кореня [(1;(0,5].

).

,

.

Тоді, відповідно до формул (20) і (21), будемо мати вигляд

. (33)

, а кількість ітерацій, які потрібно провести для знаходження розв’язку з точністю (=10(4 буде дорівнювати 5 (див. (22)). В табл. 4 наведені відповідні дані ітераційної послідовності:

Табл.4

n xn f(xn)

0 0500000E+00 0142857E+00

1 0642857E+00 0985700E-02

2 0652714E+00 0105500E-04

3 0652704E+00 0596046E-07

4 0652704E+00 0000000E+00

5 0652704E+00 0000000E+00



Із наведених даних видно, що необхідна точність досягається раніше 5-ї ітерації. Це досить характерно для апріорних оцінок типу (22).

Приклад 4. Методом Ньютона знайти найменший додатній корінь рівняння

x3+3x2(1=0 (34)

з точністю (=10(4.

.

,

.

. З формули (25) маємо

.

Тобто всі умови теореми про збіжність методу Ньютона виконані. З формули (28) маємо, що для досягнення заданої точності достатньо провести 7 ітерацій. Відповідні обчислення наведені в табл. 5.

Табл.5