Розв’язування нелінійних рівнянь, Детальна інформація

, (24)

причому

. (25)

метод Ньютона збігається, причому для похибки справедлива оцінка

. (26)

З оцінки (26) видно, що метод Ньютона має квадратичну збіжність, тобто похибка на (n+1)-й ітерації пропорційна квадрату похибки на n-й ітерації.

Модифікований метод Ньютона

(27)

на кожній ітерації, а отже і позбутися можливого ділення на нуль. Однак цей алгоритм має тільки лінійну збіжність.

Кількість ітерацій, які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (1) з точністю ( задовольняє нерівності

. (28)

Приклад 1. Розв’язати рівняння

(29)

методом ділення проміжку навпіл з точністю (=10(4.

. Згідно з формулою (6), отримаємо, що для знаходження кореня з точністю 10(4 необхідно провести 13 інтеграцій. Відповідні значення xn наведені в табл. 1.

Табл. SEQ Таблица \* ARABIC 1

n xn f(xn)

0 0785398E+00 0492505E+00

1 0392699E+00 0224617E+00

2 0589049E+00 0144619E+00

3 0490874E+00 0377294E-01

4 0539961E+00 0540639E-01

5 0515418E+00 0831580E-02

6 0503146E+00 0146705E-01

7 0509282E+00 0316819E-02

8 0512350E+00 0257611E-02

9 0510816E+00 0295467E-03

10 0511583E+00 0114046E-02

11 0511199E+00 0422535E-03

12 0511007E+00 0635430E-04