Векторна алгебра, Детальна інформація

(а, b) = | а |*| b | cos(.

За ( приймається кут між векторами, не переважаючий (. Якщо а=0 чи b=0, то скалярний добуток думають рівним нулю. Скалярний добуток має властивості:

(a, b)= (b, а) (коммутативність),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивність щодо додавання векторів),

((a,b)=( (a,b) =(a,(6) (сочетательність щодо множення на число),

(a,b)=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи a(b.

Для обчислення скалярних добутків векторів часто користаються декартовими прямокутними координатами, тобто координатами векторів у базисі, що складається з одиничних взаємно перпендикулярних векторів (ортів) i, j, k ( ортонормированний базис). Скалярний добуток векторів :

a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3}

заданих в ортонормированном базисі, обчислюється по формулі:

(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3

Косинус кута ( між ненульовими векторами a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3}

може бути обчислений по формулі:







Косинуси кутів вектора a={a1,a2,a3} з векторами базису i, j, k називают. направляючими косинусами вектора а:

.

Направляючі косинуси мають наступну властивість:

cos2(+cos2(+cos2(=1

Віссю називається пряма з лежачим на ній одиничним вектором е-ортом, що задає позитивний напрямок на прямій. Проекцією Ін. е а вектора a на вісь називають спрямований відрізок на осі, алгебраїчне значення якого дорівнює скалярному добутку вектора а на вектор е. Проекції мають властивості:

Ін. е (a+b)= Ін. е a+ Ін. е b (аддитивність),

Ін. е a = Ін. е (a (однорідність).

Кожна координата вектора в ортонормированном базисі дорівнює проекції цього вектора на вісь, обумовлену відповідним вектором базису.

У просторі розрізняють праві і ліві трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів а, b, з називається правої, якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, з у зазначеному порядку здається совершающимся по годинній стрілці. У противному випадку a,b,c - ліва трійка. Права (ліва) трійка векторів розташовується так, як можуть бути розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівої) руки(див. рис). Усі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

b b

c c

a a

правило лівої руки правило правої руки