Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші, Детальна інформація

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо



, і перенісши всі члени вправо, запишемо



Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі



і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його

.

-коренів. Розглянемо різні випадки.

) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь



одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи



.

- розв’язків

...

- лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

.

Або у векторно - матричної формі запису

,

- довільні сталі.

. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор



і, відповідно, розв’язок



, перетворимо розв’язок до вигляду: