Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші, Детальна інформація

.

- тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

буде розв’язком системи

.

, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

буде розв’язком неоднорідної системи.

можна розв’язати довільну задачу Коші

.

і система алгебраїчних рівнянь



є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Задача Коші

- одинична матриця. Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

.

невідомою вектором-функцією і повторюючи викладення методу варіації довільної постійний, одержимо

.

Звідси

.

Проінтегруємо отриманий вираз

.

- вектор із сталих, що отриманий при інтегруванні системи. Підставивши у вихідний вираз, одержимо: