Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші, Детальна інформація

, матричне рівняння перетвориться до

.

- власних векторів, що відповідають різним власним числам.

- комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

,

а перетворена система диференціальних рівнянь



Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд



Або в матричному вигляді





лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид



, розпадається не дві підсистеми

.

.

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді



Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто

.

.

Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

,

- невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

.