Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів, Детальна інформація

Отже інтеграл а) збігається.



Оскільки ця границя не існує при а \x2192 -\x221E, то інтеграл б) розбіжний.



Отже інтеграл в) розбіжний,

= 1, то



\x2260 1, то



\x2264 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +\x221E) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 \x2264 f(x) \x2264 g(x), то із збіжності інтеграла

(56)

випливає збіжність інтеграла

(57)

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:



:



збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.

:



розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

,

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 ( f(x) \x2264 g(х).