Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів, Детальна інформація

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл



збігається і



то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

.

Приклад

.

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки



то заданий інтеграл збігається.

. Ця обставина виправдовує такі означення.

називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +\x221E).

називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл



Оскільки



збігається.

на проміжку [0; +\x221E) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

; тоді, якщо існує скінченна границя

(58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(59)