Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій області, Детальна інформація

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

.

:

.

 має максимум, тобто,



 дорівнюють нулю або не існують.

 виконуються рівності

                    (6.87)

Означення. Точки, в яких частинні похідні першого порядку деякі функції дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.

Із доведеної теореми витікає, що екстремум функції кількох змінних може досягатись лише в критичних точках.

 критичні точки знаходяться із системи рівнянь

                                       (6.88)

Приклад.

Знайти критичні точки функції



Р о з в ’ я з о к. Прирівнюючи до нуля частинні похідні даної функції, одержуємо систему рівнянь для знаходження координат критичних точок:





 має чотири критичні точки:

.

Достатні умови існування екстремуму.

. Тоді:

;

;

.

 на екстремум, треба:

, причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції).

в цих точках існує);

            3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.