Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, Детальна інформація
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Пошукова робота на тему:
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
План
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Розглянемо диференціальне рівняння
(12.46)
- функція спеціального виду
(12.47)
- дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.
:
.
Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду
(12.48)
з коренями характеристичного рівняння (12.39).
слід шукати у вигляді
(12.49)
:
Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння
1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих
у цьому разі шукатимемо у формі
(12.50)
у вигляді
(12.51)
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
План
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Розглянемо диференціальне рівняння
(12.46)
- функція спеціального виду
(12.47)
- дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.
:
.
Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду
(12.48)
з коренями характеристичного рівняння (12.39).
слід шукати у вигляді
(12.49)
:
Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння
1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих
у цьому разі шукатимемо у формі
(12.50)
у вигляді
(12.51)
Приклад 1. Розв’язати рівняння
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021