Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші, Детальна інформація

  .

 - збігається, а це і є ряд (13.4).

, буде виконуватися нерівність

,

, а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

.

, то ознака Даламбера не дає можливості встановити,  збігається чи розбігається даний  ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому – розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

, починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.



           Приклад 1.  Дослідити збіжність ряду

.

,

     і   

,  тому ряд розбігається.

.

           Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

<1; отже, даний ряд збігається.

13.5. Радикальна ознака Коші

           Теорема. Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина

,                                  (13.10)

то:

 ряд (13.4) збігається;

 ряд (13.4) розбігається;

 теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

, будемо мати



звідки випливає, що



або