Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші, Детальна інформація

           Розглянемо тепер два ряди:

 ,

  .

, менші за члени другого ряду, а тому він за  ознакою порівняння збігається.

, будемо мати



або



 , більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.

 вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.

           Приклад.  Дослідити збіжність ряду

.

           Р о з в ‘ я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:

>1 – ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші

           Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

           Нехай ряд має форму

,                                              (13.11)

. Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.

           Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто

                          (13.12)

така неперервна неспадна функція, що

                   (13.13)

           Тоді :

 збігається, то збігається і ряд (13.11);

 розбігається, то розбігається і ряд (13.11).

 (рис. 13.1).





                 Рис.13.1                              Рис.13.2