Просторові задачі теорії пружності для шару, Детальна інформація

За допомогою інтегрального перетворення Ханкеля можна отримати точні розв’язки різних крайових задач теорії пружності для півпростору і необмеженої товстої плити (пружного шару).

Частина2. Перша основна задача теорії пружності для шару.

В цьому параграфі ми розглянемо першу основну задачу, тобто випадок деформації пружного шару під дією прикладених до його граничних площин (z = ±h) зовнішніх зусиль.

Граничні умови мають вигляд:

h(r,\x03C6),

h(r,\x03C6)

(r,\x03C6,z - циліндричні координати).

Оскільки одна з чотирьох гармонічних функцій Ф0,Ф1,Ф2,Ф3 є довільною, можна доповнити ( ) ще двома якими небудь умовами. В даній задачі зручно взяти

= 0

Тоді з ( ) одразу знаходимо розділені крайові умови для функцій Ф1 і Ф2



так, що гармонічні функції Ф1 і Ф2 можуть вважатися знайденими в результаті розв’язання задачі Неймана для шару.

Ввівши замість Ф0 ще одну гармонічну функцію



знайдемо із інших крайових умов вирази для Ф3 і Ф4 .

Підставляючи ( ) і ( ) в останню рівність ( ) отримаємо:



Підставляючи ( ) і ( ) в першу рівність ( ) і враховуючи, що



отримаємо:

).

Таким чином, гармонічні функції Ф3 і Ф4 повинні задовольняти таким граничним умовам:

(r,\x03C6)

(r,\x03C6)

Точний розв’язок останньої крайової задачі можна отримати, якщо записати шукані функції у вигляді розкладу в ряд Фур’є по кутовій координаті \x03C6 і в інтеграл Ханкеля по змінній r. Справді, покладемо



(r,\x03C6) в ряди Фур’є по куту і інтеграли Ханкеля по змінній r.

f(r,\x03C6) =



@