Просторові задачі теорії пружності для шару, Детальна інформація

Перша з розглянутих величин є гармонічною в просторі z > 0 функцією, і її вираз можна дати в формі інтегралу:

Функція - бігармонічна в області z > 0 i її представлення будемо шукати в формі

Зрівняємо результати, які отримаємо, якщо продиференціювати перший з інтегралів по z двічі, а від другого взяти оператор

Так як підінтегральна функції є гармонічними, та бігармонічними

Тобто

Так як вираз

(що є рівнянням Бесселя з індексом 0, і його задавольняє функція І ((r)).

Отримаємо

Для визначення інших сталих потрібно скористатися граничними умовами

які можна записати у вигляді умов для функції U :

виконавши диференціювання в правих частинах розглянутих рівностей, і розкладаючи знайдені вирази в інтеграл Ханкеля, отримаємо, після підстановки інтегралів для (U і , систему лінійних рівнянь для сталих А і В.

Позначимо

Тоді

Далі запишемо загальні результати при z=0

Тепер запишемо систему лінійних рівнянь для сталих А і В

Далі запишемо цю систему в такому вигляді (використаємо формулу обернення Ханкеля):

Позначимо ці інтеграли відповідно (, (, (, (.

Тоді система буде мати такий вигляд:

Звідки

В результаті підрахунку інтегралів відомого типу і застосування формули

де U=U +U ,

отримаємо таку відповідь:

де