Просторові задачі теорії пружності для шару, Детальна інформація

Справді, підстановка ( ) в ( ) і застосування формул Фур’є і Ханкеля дають:

Мається на увазі, що задані функції задовільняють деяким загальним умовам, що забезпечують збіжність інтегралів ( ).

Якщо вважати функції Ф і Ф знайденими, то для двох інших гармонічних функцій Ф і Ф знаходимо наступні крайові умови:

Точний розв’язок цієї змішаної задачі також отримаємо за допомогою перетворення Ханкеля. Покладемо

Підставляючи ( ) в ( ) отримаємо:

Підставляючи знайдені коефіцієнти А і Б в ( ) ми знайдемо Ф і Ф . На цьому ми закінчуємо розв’язок задач для пружного шару.

Глава 2.Приклади застосування інтегральних перетворень Ханкеля до конкретних задач теорії пружності.

Частина 1.Задача Буссінека.

До плоскої поверхні необмеженого пружного тіла (z 0) прикладена нормальна зосереджена сила Р. Необхідно вивчити напружений стан тіла. Вивести вирази для напруг і (сила Р вважається прикладеною в точці r=z=0).

Для розв’язку скористаємося формулами ч.2 гл.1. в даному випадку граничні умови ( ) і ( ) ставляться при z=0, і так як дотичних зусиль на границі не прикладається, то

Ф =Ф =Ф =Ф =0 ( )

Формула ( ) для нашої задачі буде мати такий вигляд:

Для гармонічної функції Ф маємо граничну умову:

де напруга ( відповідає заданій зосередженій силі Р, що прикладена на

початку координат.

В силу вісьової симетрії покладемо:

Із ( ) маємо:

звідки по формулі обертання Ханкеля

Нехай Р розподіляється по колу малого радіусу (:

Так як

отримаємо

Підстановка ( ) в ( ) приводить до виразу для функції Ф в явному вигляді:

Далі за формулами ( ) знайдемо вирази для напруг:

Частина 2. Узагальнена задача Буссінеска.

Узагальнивши попередню задачу на випадок зосередженої сили Р, що прикладена в довільній внутрішній точці тіла (з координатами r=0, z=a) і має складові Р =Р =0, Р =Р . Дати формулу для напруги ( .

Як відомо, напруги у вісесиметричній задачі теорії пружності можуть бути виражені через функцію U(r,z), що є розв’язком бігармонічного рівняння.

Для виділення особливості в точці прикладення сили покладемо

Функція напруг зосередженої сили Р (Р =Р =0, Р =Р), що прикладена в точці r=a, z=0 необмеженого пружного тіла; U – бігармонічна функція, регулярна в області z > 0.

Так як шукана напруга ( зв’азана з функцією U співвідношеннями:

для розв’язку задачі достатньо знайти значення величин (U і .