Просторові задачі теорії пружності для шару, Детальна інформація

Ue

TH

,4, а також Ф0 можуть вважатися знайденими.

Частина 3. Друга основна задача теорії пружності для шару.

Перейдемо до розв’язання такої задачі, коли на граничних площинах z=0 i z=h пружного шару задано переміщення

= W0(r,\x03C6)

= Wh(r,\x03C6)

Користуючись довільністю однієї з чотирьох гармонічних функцій Панковича-Нейберга, що входять в формули ( ), поставимо наступні дві додаткові умови:

= 0

Тоді з ( ) і ( ) одразу отримаємо граничні умови першого роду для функції Ф1 і Ф2 .





Таким чином, ці функції будуть вважатися знайденими шляхом розв’язку задачі Діріхле для шару.

З крайових умов, що залишилися, ми отримаємо:

з ( ) випливає Ф0 = -(хФ1 + уФ2 + zФ3)

з останньої рівності ( ):

(xФ1 + уФ2 )

Таким чином ми отримали умови для функцій Ф і Ф :

При таких граничних умовах гармонічні функції Ф і Ф можна знайти за допомогою перетворення Ханкеля. Справді, якщо покласти

то з ( ) для величин А (\x03BB) і В (\x03BB) можна отримати систему рівнянь:

розкладаючи f(r,\x03C6) аналогічно ( ) отримаємо систему рівнянь:

Підставивши знайдені А і В в ( ), отримаємо розв’язок поставленої задачі.

Частина 4. Змішана задача теорії пружності для шару.

Перейдемо до розгляду пружної рівноваги шару, на одній з граничних площин (z=0) якого задані переміщення

а на іншій (z=h)- напруги

Як і раніше ми будемо користуватись формулами ( )-( ). Що виражають пружні зміщення і напруги через чотири гармонічні функції:

Ф ,Ф ,Ф ,Ф .

Як додаткові умови виберемо наступні два співвідношення:

Використання умов ( ) приводить насамперед до змішаних граничних умов для Ф і Ф

Гармонічні функції Ф і Ф можна легко знайти за допомогою перетворень Ханкеля, якщо покласти: