Множина комплексних чисел, Детальна інформація

a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an \x2261 0.

Другими словами, теорема утверждает, что алгебраическое уравнение n-й степени (n \x2265 1)

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0 37)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Действительно, если многочлен f(х) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an , имеет корень \x03B11, то его можно представить в виде f(х) = (х – \x03B11)\x03C61(x), где \x03C61(x) – многочлен степени n – 1. Этот многочлен по данной теореме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена \x03C61(x) через \x03B12, тогда \x03C61(x) = (х – \x03B12)\x03C62(x), где \x03C62(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a0(x – a1)(x – a2)...(x – an). Отсюда видно, что f(\x03B1i) = 0 при i – 1, 2, ... , n, т. е. \x03B1i — корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравнение (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Иными словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, трансцендентное (неалгебраическое) уравнение аx = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

SHAPE \* MERGEFORMAT Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного переноса) на вектор с, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подходящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положительном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i; точка w'= z + (-3i) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

Геометрическое преобразование, при котором величины углов между любыми двумя линиями, содержащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или конформным отображением. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, понимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформных отображений могут служить сдвиг (параллельный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.

цилиндр, к скоростям в потоке, обтекающем крыло самолета, и тем самым полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается легко.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих выступлений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума». (Жуковский H.E. Собрание сочинений. – М. – Л.: Гостехиздат, 1950. –T. 7. – С. 16.) С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

PAGE

PAGE 7

-1

1

-i

i

0

x

y

(a,b)

(a,b)

Рис. 1

Рис. 2

\x03C6

- \x03C6

y

x

0