Множина комплексних чисел, Детальна інформація

не равны между собой, потому что разность их аргументов не будет кратной 2\x03C0 (см. (22) и (23)).

, т. е. значение аргумента при этом значении k отличается от значения аргумента при k = r на число, кратное 2\x03C0. Следовательно, при этом значении k получаем такое же значение корня, как и при k = r, т. е. при значении k=0, 1, 2, ..., n – 1.

с центром в точке нуль и делят эту окружность на n равных частей.

.

Рассмотрим важный частный случай извлечения корня, а именно извлечения корня n-й степени из числа 1. Представляя это число в тригонометрической форме 1=cos0+isin0 и применяя формулу (34), получаем n значений корня из единицы:

, k = 0, 1, 2, … , n – 1. (35)

На комплексной плоскости корни n-й степени из единицы изображаются точками, расположенными на окружности радиуса R = 1 и делящими ее на n равных дуг. Одной из таких точек будет точка, изображающая число 1.

Например: найдем все значения корня шестой степени из единицы. По формуле (35), которая в данном случае принимает вид

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,

получаем шесть следующих значений:













Эти значения изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность (рис. 3).

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

+ 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5 будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексными. Точки, изображающие корни n-й степени из единицы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

- мнимая единица. Зафиксируем две комплексные плоскости Oxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответственно (рис. 4).

D', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют областью определения функции w = f(z), значения которой принадлежат области D'. Если множество значений f(z) исчерпывает все множество D', то D' называют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Множества D и D' можно изображать на одной комплексной плоскости. Каждое из множеств D и D' может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, поскольку с их помощью удобно описывать движение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной переменной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n \x2265 1):

f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an . (36)

Корнем многочлена называют такое число с (в общем случае комплексное: с = a + bi), которое обращает данный многочлен в нуль: