Множина комплексних чисел, Детальна інформація

r1 = r2, \x03C62 = \x03C61 + 2k\x03C0 (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)

= x – iy записывается в форме

= r (cos(-\x03C6) + isin(-\x03C6)),

поэтому

,

не меняется, а аргумент изменяет лишь знак (см. рис. 2).

Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа

z1 = r (cos\x03C6 + isin\x03C6) , z2 = \x03C1 (cos\x03C8 + isin\x03C8), (24)

где r = |z1|, \x03C6 = Argz1, \x03C1 = |z2|, \x03C8 = Argz2.

Пользуясь правилами действий над комплексными числами в алгебраической форме, находим

z1z2 = r (cos\x03C6 + isin\x03C6) \x03C1(cos\x03C8 + isin\x03C8) = r\x03C1(cos\x03C6cos\x03C8 + icos\x03C6sin\x03C8 + isin\x03C6cos\x03C8 + i2sin\x03C6sin\x03C8 ) = r\x03C1(cos\x03C6cos\x03C8 – sin\x03C6sin\x03C8) + i(cos\x03C6sin\x03C8 + sin\x03C6cos\x03C8)),

или

z1z2 = r\x03C1 (cos(\x03C6 + \x03C8) + isin(\x03C6 + \x03C8) ). (25)

Из полученной тригонометрической формы произведения двух комплексных чисел следует, что

|z1z2| = r\x03C1 или |z1z2| = |z1| |z2|, (\x03C6 + \x03C8) = Arg(z1z2),

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

0, найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных формулами (24):

или

. (26)

Из формулы (26) следует, что

; (27)

. (28)

Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z1 = l = l (cos0 + isin0), z2 = z = r (cos\x03C6 + isin\x03C6), получаем

(cos(0-\x03C6) + isin(0-\x03C6)),

z-1 = r-1 (cos(-\x03C6) + isin(-\x03C6)), (29)

откуда |z-1| = r-1, argz-1 = -\x03C6, т. е.

|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.

Таким образом, модуль комплексного числа z-1, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента z лишь знаком.

Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos \x03C6 + isin \x03C6), заданного в тригонометрической форме. Если n — целое положительное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу