Множина комплексних чисел, Детальна інформація

число \x03AF называют мнимой единицей.

Найдем произведение действительного числа b на упорядоченную пару (0, 1) = \x03AF — мнимую единицу:

bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7)

Если (а, b) - произвольная упорядоченная пара, то из очевидного равенства (а, b) = (a, 0) + (0, b) и формул (5), (7) получаем

(a, b) = a + bi. (8)

Следовательно, комплексное число \x03B1 = (a, b) может быть записано в виде a + bi = a + ib, где a и b — действительные числа, \x03AF — мнимая единица, определяемая соотношением (6). Выражение a + bi называют алгебраической формой комплексного числа. Число a называют действительной, число b — мнимой частью комплексного числа a + bi. Обозначая комплексное число a + bi одной буквой \x03B1, пишут:

a = Re\x03B1, b = Im\x03B1,

где Re — начальные буквы латинского слова realis (действительный), Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (воображаемый). Кроме указанных обозначений, употребляются также и такие: a = R(\x03B1), b = I(\x03B1), где (a, b) = a + bi. Числа вида bi называют чисто мнимыми числами или просто мнимыми.

85

Комплексное число a + bi считают равным нулю тогда и только тогда, когда а = 0, b = 0:

. (9)

Два комплексных числа a + bi и c + di считают равными тогда и только тогда, когда равны между собой соответственно их действительные и мнимые части, т. е. a = с, b = d:

. (10)

.

Например: комплексному числу 3 + 5i сопряжённым будет 3 – 5i ;

комплексному числу 4 - 7i сопряжённым будет 4 + 7i .

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплексными числами.

Если даны два комплексных числа \x03B1 = a + bi и \x03B2 = c + di, то

\x03B1 + \x03B2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

\x03B1 – \x03B2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мнимые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – \x03B1 = – a – bi называют противоположным числу \x03B1 = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - \x03B1 + \x03B1 = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)( c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар действительных чисел.

= ( a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a, т.е.

= a2 + b2. (13)

R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа \x03B1 = a + bi, \x03B2 = c + di, причем \x03B2 \x2260 0, т. е. c2 + d2 \x2260 0. Последнее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и второе из равенств (13), находим:

.