Множина комплексних чисел, Детальна інформація

zn = (r (cos\x03C6 + isin\x03C6))n = rn (cosn\x03C6 + isinn\x03C6), (30)

откуда |zn| = rn, Arg zn = n\x03C6.

Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (30) справедлива и для целых отрицательных показателей. В самом деле, так как z-n = (z-1)n , то достаточно применить формулу (30) к числу z-1, тригонометрическая форма которого определяется формулой (29).

Формулу (30) называют формулой Муавра. В частном случае, при r = 1, из этой формулы получаем

(cos \x03C6 + isin \x03C6)n = cos n\x03C6 + isin n\x03C6.

ю;

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

, тогда по определению

.

.

Применяя формулу (30), получаем

.

На основании формул (22) и (23) из этого равенства следует, что

\x03C1n = r, n\x03C8 = \x03C6 + 2k\x03C0 (k = 0, ± 1, ± 2, …), откуда

(k = 0, ± 1, ± 2, …). (31)

, то при любом целом k,положительном или отрицательном, n-я степень этого числа равна числу z = r(cos\x03C6 + isin\x03C6). Итак,

, (32)

- арифметическое значение корня из действительного неотрицательного числа, k – любое целое число. Так как k может принимать любые значения (положительные и отрицательные), то может показаться, что корень n-й степени из комплексного числа z имеет бесконечное множество различных значений. На самом деле различных значений будет только n. Полагая

k = 0, 1, 2, … , n – 1, (33)

получаем следующие n значений корня:

,

,

, (34)

……………………………….

.

Докажем, что среди значений \x03B1i (i = 0, 1, ... , n – 1) нет равных между собой. Пусть p и q – любые различные числа из чисел k = 0, 1, 2, ... , n – 1, тогда

.

2\x03C0 не будет кратным 2\x03C0. Таким образом, комплексные числа

,