Множина комплексних чисел, Детальна інформація

(получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

. (18)

Эта формула выражает модуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).

Отметим, что модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом.

0 существует одно и только одно значение, заключенное между —\x03C0, +\x03C0, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно \x03C0, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно \x03C0/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –\x03C0/2.

Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cos\x03C6, y = r sin\x03C6, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

.

. Находим

2, …);

, которое является углом в III четверти. Находим

2, …).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число

z = x + iy. (20)

Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. формулы (19)), получаем z = r cos\x03C6 + ir sin\x03C6, или

0). (21)

Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.

Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа \x03AF в виде

)

не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргументы, во втором - имеется отрицательный множитель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа \x03C0/2 + 2k\x03C0 (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид

+ 2k\x03C0) (k – любое целое число).

Очевидно, что

r (cos\x03C6 + isin\x03C6) = r (cos(\x03C6 +2k\x03C0) + isin(\x03C6 +2k\x03C0)).

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2\x03C0. Следовательно, если

r1 (cos\x03C61 + isin\x03C61) = r2 (cos\x03C62 + isin\x03C62), (22)

то