Множина комплексних чисел, Детальна інформація

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

, (14)

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа \x03B2 = с + di можно найти обратное ему число \x03B2-1 = 1/\x03B2. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

.

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

.

Свойства действий

над комплексными числами

Для любых комплексных чисел \x03B1 = a + bi, \x03B2 = с + di, \x03B3 = e + fi выполняются следующие свойства действий сложения и умножения:

1) \x03B1 + \x03B2 = \x03B2 + \x03B1 – переместительное (коммутативное) свойство сложения;

2) (\x03B1 + \x03B2) + \x03B3 = \x03B1 + (\x03B2 + \x03B3) – сочетательное (ассоциативное) свойство сложения;

3) \x03B1\x03B2 = \x03B2\x03B1 – переместительное (коммутативное) свойство умножения;

4) (\x03B1\x03B2)\x03B3 = \x03B1(\x03B2\x03B3) – сочетательное (ассоциативное) свойство умножения;

5) (\x03B1 + \x03B2)\x03B3 = \x03B1\x03B3 + \x03B2\x03B3 – распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения.

Докажем, например, первое и третье из этих свойств. По определению сложения получаем

\x03B1 + \x03B2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

\x03B2 + \x03B1 = (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i = (a + c) + (b + d)i = \x03B1 + \x03B2,

так как с + a = a + с, d + b = b + d, т. е. для любых действительных чисел выполняется переместительное (коммутативное) свойство сложения. Далее,

\x03B1\x03B2 = (a + bi)(c + di) = aс + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i,

\x03B2\x03B1 = (c + di) (a + bi) = сa + cbi + dai + dbi2 = (ca - db) + (cb + da)i = (ac - bd) + (ad + bc)i = \x03B1\x03B2,

поскольку для любых действительных чисел ac = ca, bd = db, т. е. выполняется переместительное (коммутативное) свойство умножения.

Остальные свойства доказываются аналогично, с учетом соответствующих свойств операций над действительными числами.

Таким образом, операции над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и операции над действительными числами.

Возведение в степень комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа

При возведении в степень комплексного числа пользуются формулой бинома Ньютона: