Визначені та невласні інтеграли, Детальна інформація

2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами

Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.

Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t. Одержимо інтеграл



Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто

(5)

Доведення. Надамо аргументу х приріст \x0394х, тоді функція Ф(х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді



До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді



Згідно з означенням похідної маємо



що й треба було довести.

Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь

(6)

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.

також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому

(7)

Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.

Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді



Отже,



Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо



Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.

позначають часто так:



Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді