Визначені та невласні інтеграли, Детальна інформація

2.4. Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи — метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(10)

і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х0 < x1 < х2 < ... < хk < ... < хn-1 < хk = b

i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(11)

зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

х·k — точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(12)

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

4. Застосування визначених інтегралів

4.1. Обчислення площ

0, то згідно з формулою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою



0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою

0)

0 та від'ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолютних величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто



Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом