Визначені та невласні інтеграли, Детальна інформація

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде



Мал. 6

Означення 1. Довжиною l дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої частини прямує до нуля, тобто



Теорема 1. Якщо на відрізку [а,b] функція f (х) та її похідна f'(x) неперервні, то довжина дуги кривої у = f (х), обмеженої прямими х = а та х = b, обчислюється за формулою



Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора



Згідно з теоремою Лагранжа маємо:



і довжина вписаної ламаної буде

також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя



що й треба було довести.

, то її довжину знаходять за формулою



4.3. Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х та прямими х = a та x = b обертається навколо осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою

(17)

а площу поверхні обертання за формулою

(18)

Приклад 3. Обчислити об'єм кулі радіуса R.

Мал. 7

0, навколо осі 0х.

симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі



(кубічних одиниць).

мал. 1