Визначені та невласні інтеграли, Детальна інформація

Розв'язування. Із аналітичної геометрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 — площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,



Із рівняння еліпса знаходимо у:



Мал. 3.

і ми одержуємо

(1)

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,

.

Отже,





(квадратних одиниць).

f2(х) її можна знайти за формулою

(14)

Мал. 4

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями



Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Координати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому



Мал. 5

Отже, площа заштрихованої фігури буде



(квадратних одиниць).

4.2. Обчислення довжини дуги кривої.

Нехай крива на площині має рівняння у = f (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими х = а та х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, ..., Мn-1, В з абсцисами a, х1, х2, ..., хn-1, b, відповідно, та проведемо хорди

AM1,M1M2,…,Mk-1,Mk,…,Mn-1B,

довжини яких позначимо