Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку, Детальна інформація

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

(1)

1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

.

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

=0, називаються особливими.

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним

(2)

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

(3)

Властивості оператора L :

L (xy)=k *L (y), k = const;

);

.

.

f (x) (для диференціального рівняння (2)

0).

.

. (4)

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку.

(5)

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина).

. (6)

Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.