Екстремальні задачі в нормованих просторах, Детальна інформація

(6)

називають другим диференціалом Гато.

Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в прикладі 1.





будемо записувать у вигляді

(6)

або у вигляді

(7)

Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.



Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на -F(x).

для всіх х з вказаного околу.

Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.

Покажемо, що справедливо

Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення

(8)

що і потрібно було довести.





Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо відповідний

Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом l1, …, lk,… визначений функціонал



Тоді







)
Приведемо теорему про достатні умови екстремуму.

Тоді точка х0 є точкою мінімуму.