Екстремальні задачі в нормованих просторах, Детальна інформація

Зауваження 1. Твердження 3 справедливо і для строго опуклих функціоналів F(х).

і функція f(t) - строго опукла.

Перерахуємо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

є опуклим.

Якщо опуклий функціонал F(х) - напівнеперервний знизу, то він є і слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо далі, що справедливе

Твердження 4. Диференційовний за Гато опуклий функцірнал є слабонапівнеперервним знизу.

Доведення. Зауважимо спочатку, що має місце нерівність

(11)

Ця нерівність випливає з співвідношення



що і потрібно було показати.

Нехай U - опукла множина банахового простору X , F(x) - опуклий функціонал. Справедливе

є опуклою, причому якщо F(x) строго опуклий, то Е містить не більше однієї точки.



Тоді наступні три умови еквівалентні:







одержимо умову 2.

Подібним чином доводиться еквівалентність 1) і 3). л

Зауваження. Співвідношення 2) і 3) називають варіаційними нерівностями.



Має місце

=1.

позначено значення лінійного функціоналу l на елементі х.

- опуклі функціонали. Розглянемо наступну задачу

. (12)

- множниками Лагранжа.

одночасно не рівні нулю і такі, що